import sys
sys.path.insert(0, './../')
import Librairie.AL_Fct as al

import numpy as np
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import plotly.graph_objs as go
import plotly
import ipywidgets as widgets
from ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual, Layout, HBox, VBox, Label
import matplotlib
import plotly.express as px
import sympy as sp

Concept(s)-clé(s)

COROLLAIRE DU THÉORÈME DU RANG :

Soient $V,W$ deux $\\\mathbb{R}$-espaces vectoriels de dimension finie et $T:V\to W$ une application linéaire. Alors les affirmations suivantes sont vérifiées.

1. Si $T$ est bijective, alors $\mbox{dim} V= \mbox{dim} W$.
2. Si $\mbox{dim} V=\mbox{dim} W$ et $T$ est injective, alors $T$ est bijective.
3. Si $\mbox{dim} V=\mbox{dim} W$ et $T$ est surjective, alors $T$ est bijective.

Exercice 1

Soit $T:V\to W$ une application linéaire bijective, que peut-on dire de $V$ et $W$ ?

def Ex1Chapitre5_1():
    radio = widgets.RadioButtons(
        options=['dim𝑉<dim𝑊', 'dim𝑉=dim𝑊', 'dim𝑉>dim𝑊'],
        description='Réponse:',
        disabled=False
    )
    
    button = widgets.Button(description='Vérifier')
    out = widgets.Output()

    def callback(e):
        out.clear_output()
        with out:
            if(radio.value == 'dim𝑉=dim𝑊'):
                print('Correct !')
            else: 
                print('Faux, veuillez revoir le corollaire du théorème du rang')
    

                      
    button.on_click(callback)   
    display(radio)
    display(button)
    display(out)
    
    
Ex1Chapitre5_1()

Exercice 2

Soit $T: M_{4\times 4}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}_{3}(\mathbb{R})$,

$T\Big(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\Big) = a+b+c + ax + bx^2 + cx^3 $

Trouvez le noyeau de T puis déterminez si T est bijective.

def Ex1Chapitre5_2():
    radio = widgets.RadioButtons(
        options=['T est injective mais pas surjective', 'T est surjective mais pas injective', 'T est bijective'],
        layout={'width': 'max-content'}, # If the items' names are long
        description='Réponse:',
        disabled=False
    )
    

    button = widgets.Button(description='Vérifier')
    button2 = widgets.Button(description='Solution', disabled=True)
    box = HBox(children=[button,button2])
    out = widgets.Output()

    def callback(e):
        out.clear_output()
        button2.disabled = False
        with out:
            if(radio.value == 'T est bijective'):
                print('Correct !')
            else: 
                print('Faux, essayez encore ou regardez la solution')
    
    def solution(e):
        out.clear_output()
        with out:
            display(Markdown("Le noyau de $T$ est définit par : $$ ker(T) = \\Bigg\{ \\begin{pmatrix}a & b \\\ c& d \\end{pmatrix} \\Bigg|\\ a+b+c + (a+d)x + (b+d)x^2 + cx^3 \ = 0 \\Bigg\}$$"))
            display(Markdown("Il correspond au système suivant: $\\begin{equation}\left\{\\begin{aligned} a+b+c = 0 \\\ a+d = 0 \\\ b+d = 0 \\\ c = 0 \end{aligned}\\right.\end{equation}$ dont la solution est $a=b=c=d=0$")) 
            display(Markdown("Ainsi, $ ker(T) = 0$ donc T est injective."))
            display(Markdown("T est injective et $dim(M_{4\\times 4}(\mathbb{R})) = dim( \mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}))$, d'après le corollaire du théorème du rang, T est également bijective"))
            
                      
    button.on_click(callback)
    button2.on_click(solution)
    
    display(radio)
    display(box)
    display(out)
    
    
Ex1Chapitre5_2()

<>:27: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
<>:28: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\l'
<>:30: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\m'
<>:27: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
<>:28: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\l'
<>:30: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\m'
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10700/4076225967.py:27: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
  display(Markdown("Le noyau de $T$ est définit par : $$ ker(T) = \\Bigg\{ \\begin{pmatrix}a & b \\\ c& d \\end{pmatrix} \\Bigg|\\ a+b+c + (a+d)x + (b+d)x^2 + cx^3 \ = 0 \\Bigg\}$$"))
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10700/4076225967.py:28: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\l'
  display(Markdown("Il correspond au système suivant: $\\begin{equation}\left\{\\begin{aligned} a+b+c = 0 \\\ a+d = 0 \\\ b+d = 0 \\\ c = 0 \end{aligned}\\right.\end{equation}$ dont la solution est $a=b=c=d=0$"))
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10700/4076225967.py:30: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\m'
  display(Markdown("T est injective et $dim(M_{4\\times 4}(\mathbb{R})) = dim( \mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}))$, d'après le corollaire du théorème du rang, T est également bijective"))